Antes de continuar es necesario dedicar otra entrada a una herramienta matemática que será de utilidad en algunos casos: el logaritmo. No es necesario tener conocimientos previos y tampoco es imprescindible leer esta entrada pero es recomendable.
El problema.
En la entrada anterior vimos la naturaleza exponencial del interés compuesto. Este se traduce en el siguiente comportamiento: conforme pasa el tiempo se acelera la tasa de crecimiento por el efecto de reinvertir los intereses. Esto es la gráfica empieza a crecer mucho mas rápidamente.
Si queremos representar un interés durante mucho tiempo o con una tasa muy alta, los valores iniciales se vuelven muy pequeños comparados con los finales. Esto tiene el efecto de que apenas podemos apreciar el comportamiento de la gráfica hasta que toma un valor suficientemente grande, que es cerca del final.
En una gráfica tan sencilla tal vez puede pensarse que no tiene mucha importancia, pero en la cotización de un valor tiene el efecto de que no podemos apreciar bien las subidas y bajadas del valor hasta que la cotización es suficientemente alta.
Para evitar esto, en las gráficas de cotización de valores se emplea en algunas ocasiones una escala logarítmica. ¿Pero que es una escala logarítmica? Para ello tenemos que saber primero que es un logaritmo.
Que es el logaritmo.
El logaritmo (neperiano) es la función inversa de la exponencial. Es decir, si tenemos:
y = exp x => (exp)^-1 y = ln y = x
Por lo tanto, también se tiene: exp (ln y) = exp x = y , ln (exp x) = x = ln y.
Lo interesante de la función logaritmo es que transforma productos en sumas (de la misma forma que la exponencial transforma sumas en productos), esto es:
Exp (x + y) = exp x * exp y , ln (x * y) = ln x + ln y
En su momento, esto tuvo una gran importancia porque permitía hacer multiplicaciones de grandes números como sumas (y utilizar un ábaco).
Hay otros aspectos y propiedades de los logaritmos que no vamos a tratar, ya que se trata solo de una introducción muy simple a esta función matemática.
Escala logarítmica.
Veamos que ocurre ahora con la formula del interés compuesto:
y = c * (1 + i) ^ x
Donde x es el tiempo transcurrido, i la tasa de interés (en tanto no 1) y c el valor inicial de la inversión.
Aplicando el logaritmo a ambos lados de la expresión nos queda:
ln y = ln c + x * ln (1 + i)
Esta es la expresión de una recta con altura inicial ln c y pendiente ln (1 + i). Es decir, al tomar logaritmos pasamos de una gráfica con una importante tasa de crecimiento a una recta que tiene una tasa de crecimiento constante (dada por su pendiente).
La escala logarítmica consiste precisamente en esto: en representar el logaritmo del valor en lugar del valor. De esta forma se evita que haya un crecimiento desmesurado de la gráfica y el comportamiento en la zona de los valores mas bajos quede oculto.
Generalmente en la escaña vertical se coloca el valor y no el logaritmo del valor para que se entienda mas claramente. También suele utilizarse el logaritmo decimal (función inversa de 10 ^ x) en vez del neperiano (función inversa de e ^ x = exp x), aunque eso es algo que no tiene mayor transcendencia.
Conclusión.
La conclusión de esta entrada es que con la escala logarítmica podremos apreciar mejor el detalle de un valor cuando veamos una gráfica suya.
Tras este inciso matemático, continuaremos discutiendo nuestras gráficas.
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